Supongamos que tiene una secuencia monótonamente creciente, cuya primera entrada es 1, como los enteros.
1, 2, 3, 4, …
Imagine que cada entrada tiene una propiedad llamada “amplitud”, que siempre es mayor que la de la entrada que lo precedió. Si multiplicas dos entradas juntas, obtienes un número cuya “amplitud” es mayor que la de cada uno de los dos números originales.
Ahora imagine que había un tipo diferente de número cuya “amplitud” era mayor que cualquier número que pudiera aparecer en esta secuencia. Aunque no aparece en esta secuencia, vamos a teorizar que existe. Tiene un tipo diferente de amplitud llamada “amplitud extrema” que es, en cierto sentido, la amplitud máxima posible. Si multiplicas cualquier número en la secuencia por este número con “amplitud extrema”, no puedes obtener un número con una amplitud mayor que los dos números originales, ya que uno ya tiene una amplitud máxima, así que en vez de eso obtienes el número con “extrema amplitud” “que es el mismo número que tenías antes”.
Supongamos que tiene una secuencia monótonamente decreciente, cuya primera entrada es 1, como los enteros recíprocos.
1, 1/2, 1/3, 1/4, …
Imagine que cada entrada tiene una propiedad llamada “pequeñez”, que siempre es mayor que la de la entrada que lo precedió. Si multiplicas dos entradas juntas, obtienes un número cuya “pequenez” es mayor que la de cada uno de los dos números originales.
Ahora imagine que había un tipo diferente de número cuya “pequeñez” era mayor que cualquier número que pudiera aparecer en esta secuencia. Aunque no aparece en esta secuencia, vamos a teorizar que existe. Tiene un tipo diferente de pequeñez llamado “pequeñez extrema” que es, en cierto sentido, la pequeñez máxima posible. Si multiplicas cualquier número en la secuencia por este número con “extrema pequeñez”, no puedes obtener un número con una pequenez mayor que los dos números originales, ya que uno ya tiene la pequeñez máxima, así que en vez de eso obtienes el número con “extrema pequeñez” “que es el mismo número que tenías antes”.
Si multiplicas un número con grandeza por un número con pequeñez, obtienes un número cuyo valor se encuentra entre los dos números iniciales. Sin embargo, si multiplicas un número con pequeñez por el número con extrema amplitud, aún obtienes el número con extrema amplitud, porque la pequeñez del primer número no es suficiente para superar la gran amplitud del segundo número. De manera similar, si multiplicas un número con una amplitud por un número con extrema pequeñez, aún obtienes el número con extrema pequeñez, porque la amplitud del primer número no es suficiente para superar la extrema pequeñez del segundo número.
Sin embargo, ¿qué sucede si multiplicas el número con extrema amplitud con el número con extrema pequeñez? En este caso, la gran amplitud del primer número es capaz de superar la extrema pequeñez del segundo número. Del mismo modo, la extrema pequeñez del segundo número es capaz de superar la amplitud extrema del primer número. La amplitud extrema del primer número y la pequeñez extrema del segundo número se anulan mutuamente, y obtienes un número sin amplitud extrema ni pequeñez extrema.
Así que aquí están los nombres comunes de estos números.
número con extrema pequeñez – cero
número con pequeñez pero sin pequeñez extrema – número entre cero y uno
número sin ni pequeñez ni amplitud: uno
número con amplitud pero no amplitud extrema – número entre uno y infinito
número con extrema amplitud – infinito
número sin grandeza extrema ni extrema amplitud: número entre cero e infinito
Puede completar una tabla que muestra la respuesta que obtiene si multiplica cada uno de los tipos de números anteriores con cada uno de los tipos de números anteriores. Aquí, no tengo una forma de dibujar una tabla, así que solo voy a enumerar algunos resultados.
Si multiplicas dos números entre cero y uno, obtienes un número entre cero y uno, más pequeño que los otros dos.
Si multiplicas dos números entre uno e infinito, obtienes un número entre uno e infinito, más grande que los otros dos.
Si multiplicas un número entre cero y uno por un número entre uno e infinito, obtienes un número cuyo valor se encuentra entre los dos primeros.
Si multiplicas un número entre cero e infinito por uno, obtienes el mismo número exacto.
Si multiplicas un número entre cero e infinito por cero, obtienes cero.
Si multiplicas un número entre cero e infinito por infinito, obtienes infinito.
Si multiplicas uno por uno, obtienes uno.
Si multiplicas cero por cero, obtienes cero.
Si multiplicas el infinito por el infinito, obtienes el infinito.
Si multiplicas cero por infinito, obtienes un número entre cero e infinito.
Lo escribirías como
0 x infinito = R +, que son todos los números reales positivos.
Cualquier número real positivo obedecería esta ecuación, así que vamos a elegir 1.
0 x infinito = 1
Puede reordenar esta ecuación, de las siguientes dos maneras.
1/0 = infinito
1 / infinito = 0
Esto es un alivio porque esto es intuitivamente lo que esperarías desde
Como x -> 0, 1 / x -> infinito
Como x -> infinito, 1 / x -> 0
Entonces, si tomas el límite, a la cálculo, terminas con
1/0 = infinito
1 / infinito = 0
Siendo ese el caso, ¿por qué a veces escuchas a la gente decir que “no puedes” dividir por cero?
Con todos los problemas matemáticos, primero debe especificar de qué conjunto está eligiendo las respuestas, es decir, qué conjunto considera que son respuestas permitidas. Los enteros se cierran bajo suma, lo que significa que si agrega dos enteros, se garantiza que la respuesta también será un número entero. Sin embargo, los enteros no se cierran bajo división. Si divide dos enteros, puede obtener un entero, como 4/2 = 2, pero es posible que no obtenga un entero, como 1/2. Lo que eso significa es que, si elige, los enteros para ser el conjunto de respuestas permitidas, no se le permite dividir 1 por 2, porque la respuesta, en este caso 1/2, no está dentro del conjunto de respuestas permitidas. Sin embargo, si elige que el conjunto de respuestas permitidas no sean los enteros, sino los números reales, entonces se le permitirá dividir 1 por 2, ya que 1/2 es uno de los números reales.
Cuando a los niños se les enseñan raíces cuadradas, se les pide que se pregunten “¿Qué número multiplicado por sí mismo da ese número?” Se les enseña a hacer aritmética con números negativos diciéndoles: “Si multiplicas dos números con el mismo signo, la respuesta es positiva. Si multiplicas dos números con signo opuesto, la respuesta es negativa”. Si luego le preguntaras a ese mismo niño “¿Cuál es la raíz cuadrada de -1?”, Se reirían y dirían: “No hay respuesta” o “No se te permite tomar la raíz cuadrada de -1”, porque un número tiene que ser el mismo signo que sí mismo. Lo que están haciendo sin darse cuenta es seleccionar los números reales como el conjunto de respuestas permitidas. Si selecciona los números reales como su conjunto de respuestas permitidas, entonces es cierto que no puede tomar la raíz cuadrada de -1, ya que la respuesta, en este caso, el número imaginario i, no es un miembro de la conjunto de números reales, que ha elegido como su conjunto de respuestas permitidas. Sin embargo, si elige su conjunto de respuestas permitidas, no los números reales, sino el conjunto de números complejos, entonces se le permitirá tomar la raíz cuadrada de -1, ya que la respuesta, i, ahora aparece dentro del conjunto de respuestas permitidas.
Por razones históricas, el conjunto de números reales incluye cero, pero no incluye el infinito. Para permitir el infinito, debes usar un conjunto diferente de respuestas permitidas, “RU infinity”, que es básicamente los números reales y también el infinito. Si elige los números reales como su conjunto de respuestas permitidas, no se le permitiría dividir por cero ya que la respuesta, en este caso infinito, no es uno de los números reales, y por lo tanto no está dentro del conjunto de respuestas permitidas. Sin embargo, si elige “los números reales y el infinito” como su conjunto de respuestas permitidas, entonces se le permitiría dividir por cero, ya que ahora la respuesta, en este caso infinito, ahora está dentro del conjunto de respuestas permitidas.
La razón por la cual muchas personas, sin darse cuenta, seleccionan los números reales como su conjunto de respuestas permitidas, al igual que el niño que aún no ha estado expuesto a números complejos, es porque, por razones prácticas, a menudo es deseable excluir el infinito. En física, si aparecen infinitos, indica que la teoría se rompe en esos puntos, y ya no es predictiva. Esta es la razón por la cual Feynman inventó la renormalización. En ingeniería, si aparecen infinitos, sugiere que lo que sea que intentes construir va a romperse físicamente. Sin embargo, en matemáticas, se te permite tratar con el infinito, y hay ramas de las matemáticas dedicadas al estudio del infinito.
Desafortunadamente, algunas personas tienen una razón más estúpida para declarar “no se puede dividir por cero”, que es simplemente que se les enseñó eso en la escuela, y simplemente aceptan ciegamente lo que se les enseñó en la escuela, y por el resto de sus vidas , nunca se preguntará por qué es verdad ni preguntará si es verdad. Se les enseñó a no pensar, sino a regurgitar a ciegas lo que el maestro les dice, que es la “respuesta correcta”, y si dices algo más, es la “respuesta incorrecta”, y por lo general el maestro no sabía mucho sobre la sujeto en primer lugar.
