Dado que Dennis Tuckerman ya ha delineado una respuesta a su pregunta original, proporcionaré un enfoque para un análogo 3D de su pregunta: “¿Cuántas esferas de 1 pulgada de radio caben en un tazón de 10 pulgadas de radio?”
Nuestro problema revisado ahora pertenece a un dominio de optimización conocido como Problemas de empaquetamiento: Wikipedia: una clase de problemas en los que se debe ajustar una cantidad máxima de objetos 3D en una región 3D fija. Más específicamente, debido a que nuestro problema se relaciona con la instalación de esferas de igual radio en un contenedor, estamos lidiando con un problema de Wikipedia de empaquetamiento cerrado de esferas iguales.
Gracias al genio de Carl Friedrich Gauss – Wikipedia, tenemos acceso a una sorprendente ventaja para resolver este problema, uno cuya derivación habría sido difícil de construir. En algún momento de la década de 1800, Gauss ideó el problema del empaquetamiento de esferas iguales y demostró que un límite superior para la densidad de esferas ocupadas [matemáticas] \ rho_ {max} [/ math] es
[math] \ rho_ {max} = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}}. [/ math]
Ahora, mi intuición me dice que la densidad máxima de la esfera es un límite superior, en lugar de una cantidad constante, porque depende de la forma del contenedor en el que se empacan las esferas. Afortunadamente, si este es el caso, entonces probablemente no tengamos que preocuparnos demasiado, porque un tazón es realmente solo un hemisferio. Entonces, si bien la densidad máxima ocupada puede disminuir un poco cuando el contenedor es un cuenco en lugar de una esfera llena, es probable que sea una aproximación sólida.
Con un poco de intuición, podemos derivar una respuesta generalizada a las esferas iguales que se empaquetan en un recipiente en forma de cuenco usando la expresión anterior. Intuitivamente, la cantidad de volumen ocupado máximo por las esferas empaquetadas será un objeto útil. Dejar
Soy 50% afroamericano, 25% holandés y 25% cubano y masculino. ¿Qué tan alto debería haber terminado?
¿Por qué siento una ligera disminución en mi altura?
¿Es cierto que las chicas siguen creciendo en altura hasta los 20 años?
[matemáticas] V_ {max} = \ rho_ {max} V_ {cont} [/ math]
denotar esta cantidad, donde
[matemáticas] V_ {cont} = \ frac {2} {3} \ pi r_ {cont} ^ {3} [/ math]
denota el volumen del contenedor en forma de cuenco con radio [math] r_ {cont} = \ text {10 pulgadas} [/ math]. Entonces, los únicos factores restantes para una respuesta adecuada son el volumen de las esferas empaquetadas
[math] V_ {sphere} = \ frac {4} {3} \ pi r_ {sphere} ^ {3} [/ math],
donde [math] r_ {sphere} = 1 \ \ text {inch} [/ math] es el radio de la esfera; y la noción de que solo nos preocupan las cantidades enteras de esferas, ¿no? Después de todo, colocar una cantidad no entera de esferas en un recipiente suena un poco ridículo para cualquier aplicación práctica, y esta pregunta emite un tono práctico.
Podemos ocuparnos del aspecto de cantidad discreta alimentando nuestra cantidad de esfera máxima precisa y de valor real a través de la función de piso [matemática] \ floor floor [/ math] Funciones de piso y techo – Wikipedia, donde para cualquier número real [math] x, \ \ lfloor x \ rfloor = n, [/ math] donde [math] n [/ math] es el entero más grande tal que [math] n \ leq x. [/ math] De esta manera, la cantidad máxima se redondea hasta el entero más cercano.
Combinando todo lo anterior, tenemos
[math] n_ {max} = \ floor \ frac {V_ {max}} {V_ {sphere}} \ rfloor [/ math]
[math] \ rightarrow n_ {max} = \ floor \ frac {\ rho_ {max} V_ {cont}} {V_ {sphere}} \ floor \\ [/ math]
[math] \ rightarrow n_ {max} \ approx \ floor \ frac {\ frac {2} {3} \ pi ^ {2} r_ {cont} ^ {3}} {3 \ sqrt {2} \ frac {4 } {3} \ pi r_ {sphere} ^ {3}} \ rfloor \\ [/ math]
[math] \ rightarrow n_ {max} \ approx \ lfloor 370.2. \ rfloor \\ [/ math]
[math] \ rightarrow n_ {max} \ approx 370. [/ math]
Wow, eso son muchas esferas.
