Cuando era más joven, me dijeron que era malo sentarme demasiado cerca del televisor. ¿Es eso cierto ahora? ¿Fue alguna vez verdad? ¿Qué hay de las tabletas o HDTV?

Depende de lo que quieras decir con malo.
Sí, ver TV / Monitor, etc. durante períodos prolongados causa cierta tensión en los ojos, que se manifiestan como enrojecimiento, picazón, ojos llorosos, visión borrosa, dolores de cabeza, etc. Pero estos son temporales y desaparecen en un momento.

En cuanto a un daño más permanente a la, parece que es más un mito. Televisiones muy anteriores (como en los años 60) tenían tubos de rayos catódicos que emitían algunos Rayos X, pero incluso entonces no había mucha evidencia científica sobre sus daños. En cuanto a hoy en día, los televisores son bastante seguros en ese sentido.

Entonces parece que mamá estaba equivocada.

Descargo de responsabilidad: no soy un médico calificado ni nada.