Para calcular la altura de un acantilado saltando de él, usa 16x (tiempo en el aire) ^ 2 = altura del acantilado, pero ¿por qué 16 y por qué cuadras el tiempo?

La fórmula para la distancia cubierta bajo aceleración constante, comenzando desde un punto muerto es:

[math] x = \ frac {1} {2} en ^ 2 [/ math]

La aceleración de la gravedad en la superficie de la tierra es de 32 pies / segundo ^ 2. La mitad de eso es 16. Si usa medidores, querrá usar 4.9 en su lugar.

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Aquí es de donde viene la fórmula:

La aceleración es la derivada en el tiempo de la velocidad,

[math] \ frac {dv} {dt} = a [/ math]

Integrar ambos lados:

[matemáticas] v = \ int a dt [/ math]

[math] v = at + C. [/ math]

C resulta ser la velocidad inicial. La prueba de esto se deja como un ejercicio.

[matemáticas] v = at + v_0 [/ math]

Ahora, la velocidad es la derivada en el tiempo de la posición:

[math] \ frac {dx} {dt} = at + v_0 [/ math]

Integrando ambos lados:

[math] x = \ int {at + v_0} dt [/ math]

[math] x = \ frac {1} {2} en ^ 2 + v_0 t + C [/ math].

Aquí, C resulta ser la posición inicial.

[math] x = \ frac {1} {2} en ^ 2 + v_0 t + x_0 [/ math].

Si establecemos [math] v_0 = 0 [/ math] y [math] x_0 = 0 [/ math], obtenemos la fórmula anterior.

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Para la tarea, demuestre que la velocidad a la que toca el suelo (en pies por segundo) se puede encontrar tomando la raíz cuadrada de la altura del acantilado (en pies) y multiplicándolo por 8.

Bueno, la ecuación que tienes es en realidad una forma disminuida de la ecuación de movimiento del proyectil [matemática] h = g / 2t ^ 2 + vt + c [/ math]

Dónde:

h = altura

t = tiempo

g = aceleración debido a la gravedad

v = velocidad inicial

c = altura inicial

Excepto en su situación v = 0 y también lo es c.

Ahora ha notado que el coeficiente de [math] x ^ 2 [/ math] es [math] g / 2 [/ math]. Lo que significa que [matemáticas] – [/ matemáticas] [matemáticas] 16 = g / 2 [/ matemáticas] por lo tanto [matemáticas] g = -32 [/ matemáticas].

[math] g = -32 (ft / sec ^ 2) [/ math] es una constante que usamos para representar la aceleración debida a la gravedad (en la tierra).

Esa g solo funciona cuando trabajaste con pies, si usas metros [math] g = -9.8 (metros / seg) [/ math]

Este es el por qué:

Cuando una masa experimenta una fuerza constante, acelera de acuerdo con [math] a = \ frac {f} {m} [/ math]. La distancia recorrida se calcula mediante [math] \ frac {1} {2} en ^ 2 [/ math], donde [math] t [/ math] es el tiempo en segundos.

En unidades imperiales, la aceleración debido a la fuerza de la gravedad (sin resistencia del aire) es de aproximadamente 32 pies por segundo por segundo, o [matemática] 32 \ frac {ft} {sec ^ 2} [/ math]

Conectándolo a la ecuación de la distancia recorrida, obtenemos:

[matemáticas] \ frac {1} {2} en ^ 2 = \ frac {1} {2} 32t ^ 2 = 16t ^ 2 [/ math]

Para calcular la altura de un acantilado saltando de él, usa 16x (tiempo en el aire) ^ 2 = altura del acantilado, pero ¿por qué 16 y por qué cuadras el tiempo?

Tiene que ver con la forma en que la gravedad acelera un objeto, como una pelota, un ladrillo o un payaso. No sé cuántas matemáticas conoces, así que daré una derivación de mano-wavey; derivaciones más rigurosas se encuentran en otras respuestas.

Comenzamos tirando nuestra bola / ladrillo / payaso del acantilado. Se siente una aceleración debido a la gravedad de [math] g [/ math]. La aceleración es el cambio en la velocidad por unidad de tiempo . Básicamente, es la rapidez con que su objeto gana velocidad. Se mide en metros por segundo por segundo; si estás usando unidades extrañas, está en pies por segundo por segundo.

Bajo esta aceleración, la velocidad de tu objeto aumenta. La velocidad del objeto depende de la aceleración y el tiempo que ha estado cayendo. Debido a que la aceleración es constante, podemos multiplicar los dos juntos para encontrar [math] v = gt [/ math].

Debido a que el objeto se está moviendo, está cubriendo la distancia. Sin embargo, tanto la velocidad como el tiempo están cambiando, lo que significa que no podemos simplemente multiplicarlos para encontrar la distancia recorrida. Sin embargo, podemos multiplicar la velocidad promedio por el tiempo.

La velocidad promedio es [math] \ frac {v + v_0} {2} [/ math] que se reduce a [math] \ frac {v} {2} [/ math] porque la velocidad inicial [matemática] v_0 [/ math ] es 0. Multiplicar esto por el tiempo da [math] h = \ frac {vt} {2} [/ math]. Luego sustituimos [math] v = gt [/ math] para dar [math] h = \ frac {gt ^ {2}} {2} [/ math].

Esa es la fórmula que estás usando. Entonces, ¿de dónde vino el 16? Bueno, si usa [math] g = 32 \ cdot ft \ cdot s ^ {- 2} [/ math], el [matemático] \ frac {g} {2} [/ math] se convierte en 16.

Esto no se puede usar cuando la resistencia del aire se vuelve significativa. La resistencia del aire es complicada y desordenada, como el payaso que lanzamos desde el acantilado.

La ecuación es esta:

Y = 1/2 gt ​​^ 2

Y = altura

g = gravedad (9.8m / s ^ 2 o 32ft / s ^ 2)

t = tiempo

Asi que…..

Y = 1/2 (32t ^ 2)

Y = 16t ^ 2

Esto es solo para calcular la altura en pies.

Ahora, ¿por qué el tiempo al cuadrado …?

La gravedad produce una aceleración constante de 32 pies por segundo, cada segundo. Entonces, en el primer segundo, el objeto de caída libre avanza a 32 pies / s, a 2 segundos, 64 pies / s, a 3 segundos, va a 96 pies / s … Se entiende la idea. En otras palabras, 32 pies / s / s o 32 pies / s ^ 2

No estoy seguro de dónde obtuvo su fórmula. La fórmula que trataría de usar para obtener la altura del acantilado es:

x = ut – ½at ^ 2

Dónde:

x = altura

u = velocidad inicial, o inicial, (en este caso 0)

t = tiempo

a = aceleración hacia abajo (aproximadamente 10 metros por segundo por segundo, es decir, -10 ms ^ -2)

Debido a la velocidad inicial que iguala 0, y 0 veces cualquier cosa es igual a 0, la fórmula se puede simplificar a:

x = -½at ^ 2

O

x = -½ • -10 • t ^ 2

=> x = 5 • t ^ 2

La razón por la cual t se cuadra es porque por cada segundo que caigas (antes de alcanzar la velocidad del terminal) aumentarás tu velocidad. Por ejemplo, en un segundo en usted viajará a 10 metros por segundo, a los dos segundos viajará a 20 metros por segundo, tres segundos a 30 metros por segundo, y así sucesivamente. Esta es la razón por la aceleración está en unidades de “metros por segundo por segundo”, que también podría describirse como “aumento de la velocidad de 10 metros por segundo, cada segundo”.

Como en:

a = -2 • (x / t ^ 2)

Por ejemplo, supongamos que conocemos la altura, la aceleración, la velocidad al inicio y el tiempo que tardó en caer (o soltar un objeto) desde un acantilado en particular. Usemos los valores:

x = 45

a = -10

t = 3

u = 0

Podríamos poner esto en la fórmula:

x = ut – ½at ^ 2

Y obten:

45 = 0 • 3 -½ • -10 • 3 ^ 2

=> 45 = 0 + 5 • 9

=> 45 = 5 • 9

=> 45 = 45

Entonces podemos probar que (con números que se relacionan con este problema) la fórmula funciona.

Pero, ¿y si no supiéramos la altura? Así que usemos los mismos números para los otros valores que los anteriores.

x = desconocido

a = -10

t = 3

u = 0

Entonces ahora tenemos la fórmula:

x = ut – ½at ^ 2

=> x = 0 • 3 -½ • -10 • 3 ^ 2

=> x = 0 + 5 • 9

=> x = 45

Entonces sabemos que podemos encontrar un valor con la fórmula.

De hecho, para cualquiera de los cuatro valores, solo necesita tres y puede encontrar el cuarto usando esta fórmula. No importa cuál de los tres valores tenga, simplemente puede reorganizar la fórmula para encontrar la que falta.

Nota: Para una situación real, la velocidad inicial puede no ser igual a 0, ya que saltar o ser arrojado del acantilado no es lo mismo que caerse o caerse de él. Para ellos, use la misma fórmula, solo asegúrese de usar la velocidad inicial correcta, convirtiéndola en un número positivo para la velocidad ascendente y negativo para la descendente.

El 16 es la mitad de 32, más precisamente 32.2, porque ignorando la resistencia del aire, si caes algo cerca de la superficie de la Tierra, acelera a 32.2 pies / segundo ^ 2, lo que significa que después de 1 segundo va 32.2 pies / segundo, después de 2 segundos va a 64.4 pies / seg, y así sucesivamente. En cuanto a por qué la fórmula de distancia es 1/2 en ^ 2 … evitando el cálculo, veamos. ¿Qué tal visual? Si graficas la velocidad en el eje vertical y el tiempo en la horizontal, obtienes una línea inclinada a través del origen que sube hacia la derecha. Sal a un tiempo dado T y dibuja una línea vertical. Usted ha encerrado un área sobre el eje del tiempo. El área del triángulo es 1/2 base x altura, donde la base es t y la altura es a • t. Entonces el área es 1/2 en ^ 2. Esta área tiene unidades de (pies / segundo) * (seg) = pies (unidades de altura por unidades de longitud equivale a unidades de área, ¡incluso en un gráfico!) El área representa la distancia recorrida. Si eso es difícil de ver, imagina que un autobús va a una velocidad constante de 100 pies / seg durante 5 segundos. El gráfico v vs t sería una línea horizontal a una altura de 100 pies / s, y el área entre 0 segundos y 5 segundos sería de 500 pies.

Eso no es una prueba completa, pero al menos te da un puntero por cada detalle. Y sí, a medida que la resistencia del viento aumenta con la velocidad, la situación se vuelve más compleja y la fórmula de distancia cambia.