¿Es extraño decir “me lavé la cara con agua fría” en lugar de “me lavé la cara”?

Es un poco arcaico, pero piensa en lo que significa. Para lavarse la cara generalmente significa limpiador de la piel y agua, posiblemente con el uso de una toallita. Sin embargo, si te has puesto caliente mientras trabajabas o simplemente te despertabas y necesitabas un rápido despertar, “lavarte la cara con agua fría” podría ser lo correcto.